अनिश्चितकालीन अभिन्न। अनिश्चितकालीन अभिन्नहरूको गणना

गणितीय विश्लेषण को मौलिक शाखाहरु मध्ये एक को अभिन्न गणना हो। यसले वस्तुहरूको व्यापक क्षेत्रलाई समावेश गर्दछ, जहाँ पहिला अविश्वसनीय अभिन्न छ। यसलाई एक कुञ्जी जस्तै राख्नु हो, कि हाई स्कूलमा पनि उच्च अंकका आधारभूत विवरणहरू र अवसरहरू, जुन उच्च गणित द्वारा वर्णन गरिन्छ।

रूप

पहिलो नजरमा, अभिन्न पूर्णतया आधुनिक, सान्दर्भिक देखिन्छ, तर व्यावहारिक रूपमा यसलाई 1 9 75 ई.पू. मा देखिन्छ। मातृभूमिलाई आधिकारिक रूपमा मिश्रित मानिन्छ, किनकि हामीले यसको अस्तित्वको अघिल्लो प्रमाण पाएनौं। उहाँ, सूचनाको कमीको कारण, यो सबै समय मात्र एक घटनाको रूपमा लिइन्छ। उनले एक पटक फेरि उनीहरूको जनकालमा विज्ञानको विकासको स्तर पुष्टि गरे। अन्ततः, पुरातन युनानी गणितज्ञहरूको काम चौथो शताब्दी ईसा पूर्वमा फैलिएको थियो। उनीहरूले एक पद्धतिको वर्णन गरे जुन एक अनिश्चितकालीन अभिन्न प्रयोग भएको थियो, जसको सार को कर्नभिनारको भोल्युम वा क्षेत्र (क्रमशः तीन-आयामी र दुई-आयामी विमानहरू) फेला पर्यो। गणना को सिद्धान्त मूल आंकडा को अनंतोष्ठिम घटकों मा विभाजित गर्न मा आधारित थियो, प्रदान गरियो कि तिनीहरूलाई को भोल्युम (क्षेत्र) पहिले नै जानिन्छ। समयको साथ, विधि बढ्यो, आर्किमिडीहरूले यसलाई पाबोलको क्षेत्रमा फेला पार्न प्रयोग गर्यो। एकै समयमा गणना अनुरूप प्राचीन चीनमा वैज्ञानिकहरू द्वारा गरिन्छ, त्यसोभए तिनीहरू पूर्ण रूपमा ग्रीक भाइहरूलाई विज्ञानमा पूर्ण रूपमा मुक्त थिए।

विकास

11 औं शताब्दीमा अर्को सफलता अङ्ग्रेजी "सार्वभौम" अबू अली अल बासिरीको काम थियो, जसले पहिले नै चिनिने सीमाहरू विस्तार गर्यो, जो कि श्रृंखलाको अंक गणना गर्नका लागि सूत्रको आधारमा चौथो र तेस्रो स्थानमा डुब्न, गणितीय प्रेरणा को तरिका।
आधुनिक दिमागहरूले कसरी स्वीकार्छन् कि पुरातन मिस्रहरूले कसरी कुनै विशेष अनुकूलन बिना अज्ञात वास्तुशिल्प स्मारकहरू सिर्जना गरे तापनि तिनीहरूका आफ्नै हात बाहेक, तर त्यस समय वैज्ञानिकहरूको दिमागहरू कुनै कम चमत्कार होइन? हालको समयमा तुलनामा, तिनीहरूको जीवन लगभग आदिम देखिन्छ, तर अनावश्यक अभिन्नहरूको समाधान हरेक ठाउँबाट व्युत्पन्न भएको थियो र प्रकृयामा थप विकासको लागि प्रयोग गरिएको थियो।

अर्को चरण 16 औं शताब्दीमा भएको थियो, जब इटालियन गणितज्ञ काभलीले अयोग्य तरिकालाई पछाडि राख्यो, जुन पियेर फर्मेटले उठाएको थियो । यो यी दुई व्यक्तित्व हो जसले आधुनिक अभिन्न गणना को लागि आधार राख्छ जुन अहिले नै थाहा छ। तिनीहरूले अवधारणाहरु को भिन्नता र एकीकरण को जोड दिए, जसलाई पहिला स्वायत्त एकाइहरु को रूप मा जानिन्छ। By and large, those times of mathematics fragmented, स्वयं द्वारा अस्तित्व को कण, एक सीमित क्षेत्र को आवेदन गर्न को लागी। एकीकरण को बाटो र सामान्य जमीन को खोज केवल उस समय एकमात्र सही थियो, उनको धन्यवाद धन्यवाद गणितीय विश्लेषण को विकास र विकसित गर्न मा सक्षम थियो।

समय को पारित संग, सबै केहि बदल्यो, र अभिन्न को रूप मा राम्रो तरिकाले। द्वारा र ठूलो, यो वैज्ञानिकहरु द्वारा, को निदान गरिएको थियो, जो अधिक छ, उदाहरण को लागी, न्यूटन ले एक स्क्वायर प्रतिमा को उपयोग गर्दछ जसमा उनले एक एकीकृत समारोह राखयो या बस यसलाई अगाडी राखयो। यो असहमति 17 औं शताब्दी सम्म जारी रह्यो, जब प्रतीक वैज्ञानिक गौटेफ्रेड लेबिनिजले हामीलाई गणितीय विश्लेषण को सम्पूर्ण सिद्धान्तको लागि हामीलाई परिचित परिचित गरे। फैलिएको "एस" वास्तवमा ल्याटिन वर्णमालाको यस पत्रमा आधारित छ , किनभने यसले एन्टिप्सको योगलाई बुझाउँछ। यो नाउँ 15 वर्ष पछि याकूब बर्नौली द्वारा अभिन्न लाई दिइएको थियो।

औपचारिक परिभाषा

अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग प्रत्यक्ष रूपमा परिभाषा को परिभाषामा निर्भर गर्दछ, त्यसैले यसलाई पहिले नै विचार गर्नुहोस्।

आदिम एक प्रकार्य व्युत्पन्न को लागि व्युत्पन्न हो, वास्तव मा यसलाई आदिम भनिन्छ। अन्यथा: प्रकार्यको एन्डिडाइटिभ डी प्रकार्य हो जसको व्युत्पन्न v <=> V '= v। एन्टिडाइभेट्टको खोजी एउटा अनिश्चितकालीन अभिन्नको गणना हो, र प्रक्रिया आफैले एकीकरण भनिन्छ।

उदाहरण:

प्रकार्य (y) = y ³ , र यसको एन्टिडेटिव एस (वाई) = (y 4/4)।

विचार अन्तर्गत प्रकार्यको सबै एन्टिइडाइटिटिहरूको सेट अनिवार्य अभिन्न हो; यो निम्नानुसार उल्लेख गरिएको छ: ∫v (x) dx।

चूंकि V (x) मूल प्रकार्य को केहि आदिम हो, हामी अभिव्यक्ति हो: ∫v (x) dx = V (x) + C, जहाँ सी स्थिर छ। एक मनमाने निरंतर कुनै पनि स्थिर को रूप मा बुझिन्छ, किनकी यसको व्युत्पन्न शून्य छ।

गुणहरू

गुणहरू जुन अनिश्चितकालीन अभिन्न स्वामित्व हो जुन डेरिभेटिभको आधारभूत परिभाषा र गुणहरूमा आधारित छन्।
मुख्य बुँदाहरू विचार गर्नुहोस्:

• एन्टिडेरिभेटिभको अभिन्न आफै नै एक एन्टिडाइरेटिव प्लस एक मनमाने निरंतर सी हो <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• प्रकार्यको अभिन्नको व्युत्पन्न प्रारम्भिक प्रकार्य हो <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• निरंतर अभिन्न को चिन्हबाट बाहिरिएको छ <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, जहाँ के के आत्मकथा हो;
• योगबाट लिइएको अभिन्न समान एकता को योग को बराबर छ <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy।

अन्तिम दुई गुणहरूबाट यो निष्कर्ष निकाल्न सकिन्छ कि अनिश्चितकालीन अभिन्न रैखिक हो। यसको कारण हामीसँग छ: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l·w (y) dy।

फिक्सिंगको लागि, हामी अनिश्चितकालका समाधानहरूको समाधानहरू विचार गर्छौं।

यो आवश्यक छ कि अभिन्न ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3 s s xxx + 4 ∫xxxx = 3 (-cosx) + 4sinx + सी = 4sinx - 3cosx + C.

उदाहरणबाट हामी निष्कर्षमा पुग्न सक्छौं: अस्तित्वहीन अनिवार्य समाधान कसरी गर्ने भन्ने थाहा छैन? केवल सबै गठबन्धन खोज्नुहोस्! र यहाँ तल खोज को सिद्धान्तहरू छन्।

विधिहरू र उदाहरणहरू

अभिन्न हल गर्न को लागी, हामी निम्न विधिहरु लाई सहज गर्न सक्छौं:

• समाप्त तालिका प्रयोग गर्नुहोस्;
• भागहरूद्वारा एकीकृत गर्नुहोस्;
• एक चर परिवर्तन गरेर एकीकृत;
• अंतर को संकेत को तहत सममकरण।

तालिकाहरू

सबै भन्दा सजिलो र सबैभन्दा मजेदार तरीका। यसबाहेक, गणितीय विश्लेषणले निष्पक्ष व्यापक तालिकाहरूको घमण्ड गर्न सक्छ, जसमा अनेटर्मिनाट एन्टल्सको आधारभूत सूत्रहरू निर्धारण गरिएको छ। अन्य शब्दहरूमा, त्यहाँ टेम्प्लेटहरू छन्, तपाइँ र तपाइँको लागि व्युत्पन्न छन्, यो मात्र प्रयोग गर्न बाँकी छ। यहाँ मुख्य तालिका स्थानहरूको सूची हो जुन लगभग प्रत्येक उदाहरण समाधान भएको हुन सक्छ:

• ∫0dy = सी, जहां सी स्थिर छ;
• ∫dy = y + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1} ) / (n + 1) + C, जहाँ सी स्थिर छ, र n एक नजरो संख्या हो;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫e ^y dy = e ^y + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫k ^y dy = (k ^y / ln k) + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫cosydy = siny + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫sinydy = -cosy + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫dy / पाप ² y = -ctgy + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫dy / (1 + y ² ) = आर्काइजी + C, जहाँ सी स्थिर छ;
• ∫chydy = शाय + सी, जहां सी निरंतर छ;
• ∫shydy = chy + C, जहाँ सी स्थिर छ।

यदि आवश्यक भएमा, केहि कदमहरू लिनुहोस्, तालिका दृश्यमा integrand ल्याउनुहोस् र विजयको आनन्द लिनुहोस्। उदाहरण: ∫cos (5x -2) डीएक्स = 1/5 बोलीकोस (5x-2) डी (5x-2) = 1/5 x पाप (5x-2) + सी

निर्णयद्वारा यो स्पष्ट छ कि तालिकाको लागि integrand मा गुणस्तर छैन 5. हामी यो जोड्दछ, 1/5 मा समानांतरमा गुणा गर्दछ, ताकि सामान्य अभिव्यक्ति परिवर्तन गर्दैन।

भागहरु द्वारा एकता

दुई कार्यहरू विचार गर्नुहोस् - z (y) र x (y)। तिनीहरू परिभाषाको सम्पूर्ण डोमेनमा लगातार भिन्न हुनु पर्छ। एक भिन्नता गुणद्वारा हामीसँग छ: d (xz) = xdz + zdx। समानता को दुवै पक्ष को एकीकरण, हामी प्राप्त गर्छन: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz।

नतीजात्मक समीकरण पुन: प्राप्त गर्दै, हामी एक सूत्र प्राप्त गर्दछ जसले केही भागहरु द्वारा एकीकरण को विधि को वर्णन गर्दछ: ∫zdx = zx - ∫xdz।

किन आवश्यक छ? यो तथ्य भनेको केहि उदाहरणहरु लाई सरल बनाउन को लागी, अपेक्षाकृत बोल्नुहोस, ∫zdx ∫xdz को कम गर्नुहोस, यदि बाद सारणी रूप को नजिकै छ। साथै, यो सूत्र इष्टतम परिणाम प्राप्त गर्न एक चोटि भन्दा बढी लागू गर्न सकिन्छ।

यस तरिकामा अनिश्चितकालीन अभिन्न कसरी समाधान गर्ने:

• ∫ (s + 1) e ^2s डी गणना गर्न आवश्यक छ

∫ (x + 1) e ^2s डी एस = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e ^2s , dy = e ^2x ds} = ((+ + 1) e ^2s ) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s ) / 2-e ^2s / 4 + C;

• तपाईंलाई ∫lnsds को गणना गर्न आवश्यक छ

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + c = s (lns-1) + C.

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

अनिश्चितकालीन अभिविन्यास सुल्झाउने यो सिद्धान्त अघिल्लो दुई भन्दा बढीमा कम रहेको छैन, यद्यपि यो धेरै जटिल छ। विधि निम्नमा समावेश छ: V (x) केही प्रकार्य v (x) को अभिन्न बन्न दिनुहोस्। घटनामा कि उदाहरण मा अभिन्न जटिल जटिल छ, त्यहाँ भ्रमित गर्न र गलत बाटो जाँदै जाने को एक ठूलो मौका हो। यसबाट बच्न, चर एक्स देखि z बाट transition अभ्यास गरिएको छ, जसमा एक्स पर निर्भर निर्भरता सामान्य साधारण अभिव्यक्ति को रूपमा सरल बनाइन्छ।

गणित भाषामा, यो यस्तो देखिन्छ: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = v (y ^-1 (x)), जहाँ x = y ( Z) एक अनुमति छ। र, निस्सन्देही, उल्लेखित प्रकार्य z = y ^-1 (x) लाई पूर्ण रूपमा निर्भर को निर्भरता र अन्तरक्रिया वर्णन गर्दछ। एक महत्वपूर्ण अवलोकन हो कि अंतर डीसी जरूरी नयाँ अंतर डीज द्वारा प्रतिस्थापित गरिएको छ, किनकी एक अनिश्चिततम अभिन्न मा चर को प्रतिस्थापन यसको प्रतिस्थापन हरेक ठाँउ मा, र न केवल integrand मा।

उदाहरण:

• यो ∫ (s + 1) / ( ² + 2s - 5) डी एस गर्न आवश्यक छ

हामी substitution z = (s + 1) / ( ² + 2s-5) लागू गर्दछौं। त्यसपछि dz = 2sds = 2 + 2 (एस + 1) डी एस <=> (एस + 1) डी एस = डीज / 2। परिणामको रूपमा, हामी निम्न अभिव्यक्ति पाउँछौं, गणना गर्न धेरै सजिलो छ:

∫ (एस + 1) / (एस ² + 2s-5) डी एस = ∫ (डीज / 2) / z = 1 / 2ln | z | + सी = 1/2 एलएन | एस ² + 2 एस -5 | + सी;

• अभिन्न ∫2 ^s e ^s dx को लागी यो आवश्यक छ

समाधानको लागि, हामी निम्न फारममा अभिव्यक्तिलाई पुन: लेख्दछौं:

∫2 ^s e ^s ds = ∫ (2e) ss।

हामी = = 2 (यस आर्गुमेसनलाई प्रतिस्थापन गरेर यो चरण होइन, यो अझै पनि छ) द्वारा लिखित छ, हामी हाम्रो, पहिलो नज़रमा, जटिल अभिन्न, प्राथमिक ट्याबुलर फारममा:

∫ (2e) ^s डी एस = ∫a ^एस डी एस = एक ^एस / lna + C = (2e) ^s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e / (Ln2 + 1) + C.

अंतरको चिन्ह अन्तर्गत रेखाचित्र

द्वारा र ठूलो, अनिश्चितकालीन अभिन्नहरूको यो विधि चर प्रतिस्थापन सिद्धान्तको एक जुत्ता भाइ हो, तर डिजाइन प्रक्रियामा भिन्नताहरू छन्। अधिक विस्तार मा विचार गरौं।

यदि ∫v (x) dx = V (x) + C र y = z (x), त्यसपछि ∫v (y) dy = V (y) + C.

एकै समयमा, एक सानातिक अभिन्न परिवर्तनहरू बिर्सनु हुँदैन, जसको बीचमा:

• Dx = d (x + a), जहाँ कुनै पनि स्थिर छ;
• डीx = (1 / ए) डी (अक्ष + बी), जहाँ फेरि फेरि छ, तर शून्य बराबर छैन;
• Xdx = 1/2 डी (x2 + बी);
• Sinxdx = -d (cosx);
• Cosxdx = d (sinx)।

यदि हामी असामान्य अभिन्न गणना गर्दा सामान्य मामलालाई विचार गर्छौं, उदाहरणहरू सामान्य सूत्रमा '' x x dx = dw (x) लाई घटाउन सकिन्छ।

उदाहरणहरू:

• यो ∫ (2s + 3) ² डी एस, डी एस = ^1/2 डी (2s + 3) खोज्न आवश्यक छ

∫ (2s + 3) ² डी एस = 1/2 एबी (2s + 3) ² डी (2s + 3) = (1/2) एक्स ((2s + 3) ² ) / 3 + सी = (1/6) एक्स (2s + 3) ² + सी;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

अनलाइन मद्दत

केहि अवस्थामा, अपराध वा कि आलस्य हुन सक्छ वा तत्काल आवश्यकता हुन सक्छ, तपाईं अनलाइन सुझावहरू प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ, वा सट्टा, अनिश्चित अभिन्नहरूको क्यालेन्डर प्रयोग गर्नुहोस्। सबै स्पष्ट जटिलता र एकीकरण को विवाद को बावजूद, उनको समाधान एक निश्चित एल्गोरिथ्म को अधीन छ, जो सिद्धांत मा बनाइयो "यदि नहीं ..., तब ..."।

निस्सन्देह, विशेष गरी जटिल उदाहरणहरू यस्तो क्यालकुलेटरलाई महसुस गर्न सकिँदैन, किनकि त्यहाँका समस्याहरू कृत्रिम रूपले पत्ता लगाइएपछि, जबरजस्ती "प्रक्रिया" मा केहि तत्वहरू परिचय गर्दै, किनभने परिणाम प्राप्त गर्न सकिँदैन। यस बयानको सबै विवादको बावजुद, यो सत्य हो, किनभने गणित, सिद्धान्तमा, संक्षेप विज्ञान हो, र यसको प्राथमिक कार्यलाई सम्भावनाहरूको सीमा विस्तार गर्न विचार गर्दछ। निस्सन्देह, माथि उठ्न र सुचारु रन-इन सिद्धान्तहरूमा विकास गर्न अत्यन्तै गाह्रो छ, यसैले हामी मान्दैनौं कि अनिश्चितकालीन अभिन्नहरूलाई सुल्झाउने उदाहरणहरू सम्भावनाहरूको शीर्ष हुन्। तथापि, हामीलाई मुद्दाको प्राविधिक पक्षमा फर्कौं। कम से कम गणना को लागी तपाईं उन सेवाहरु को उपयोग गर्न सक्नुहुनेछ जसमा हामी सबै भन्दा पहिले लेखिएको थियो। यदि जटिल अभिव्यक्तिको स्वत: गणनाको लागि आवश्यक छ भने, तिनीहरूसँग वितरण नहुन सकिँदैन, तपाइँलाई अधिक गम्भीर सफ्टवेयरमा सहज गर्न पर्छ। यो ध्यान मा सबै MatLab वातावरण मा ध्यान को लायक छ।

अनुप्रयोग

पहिलो नजरमा अनिश्चितकालीन अभिन्नहरूको समाधान पूर्ण रूपमा वास्तविकताबाट तलाकिएको देखिन्छ, किनकि यो स्पष्ट अनुप्रयोग विमानहरू हेर्न गाह्रो छ। निस्सन्देह, उनीहरूले सिधै कहीं पनि प्रयोग गर्न सकिँदैन, तर तिनीहरू व्यावहारिक मध्यवर्ती तत्त्व को निर्णयमा राख्ने प्रक्रियामा मानिन्छ जुन अभ्यासमा प्रयोग गरिन्छ। यसैले, एकीकरण अदृश्य रूप मा अलग छ, जसको कारण यो सक्रियता संग समीकरण को सुलझाने को प्रक्रिया मा भाग ले।
बारी मा, यी समीकरणहरु मा यांत्रिक समस्याहरु, प्रविधिहरु र थर्मल चालकता को गणना मा सीधी प्रभाव छ - छोटो मा, सबै केहि जो वर्तमान बनाउँछ र भविष्य को आकार को। अनिश्चितकालीन अभिन्न, हामीले माथि उल्लेखित उदाहरणहरू, केवल पहिलो नजरमा सानो छ, यो अधिक र अधिक नयाँ खोजहरू बनाउनको लागि आधार हो।