वास्तविक संख्या र उनको गुण

पाइथागोरस संख्या प्रमुख तत्व संग एक बराबरीको मा संसारको जग हो भनेर दावी। प्लेटो लिंक घटना र noumenon, थाहा, मदत संख्या वजन कि हुन र निष्कर्ष आकर्षित गर्न विश्वास गरे। संख्या, गणित मा सुरु बिन्दु - गणित शब्द "arifmos" बाट आउँछ। प्राथमिक देखि स्याउ सार स्पेस गर्न - यो कुनै पनि वस्तु वर्णन गर्न सम्भव छ।

एक विकास तत्वको रूपमा आवश्यक

समाज को विकास को प्रारम्भिक चरणमा मान्छे को आवश्यकता आवश्यकता द्वारा तोकियो स्कोर राख्न - .. अन्न, दुई अन्न झोला, आदि को एक झोला यो गर्न, यो थियो प्राकृतिक संख्या, सेट जो सकारात्मक पूर्णाङ्कहरुको एन को असीमित अनुक्रम

पछि, एक विज्ञान रूपमा गणित को विकास, यो पूर्णाङ्कहरुको Z को विशिष्ट क्षेत्रमा आवश्यक थियो - यो नकारात्मक मान र शून्य समावेश छ। घरेलू स्तर मा आफ्नो उपस्थिति, यो प्रारम्भिक लेखा तरिका को ऋण र घाटा समाधान गर्न थियो भन्ने तथ्यलाई द्वारा सुनेपछि थियो। एक वैज्ञानिक स्तर मा, नकारात्मक संख्या सम्भव सरल समाधान गर्न गरेका छन् रैखिक समीकरण। अन्य कुराहरु, अब यो सम्भव छवि एउटा तुच्छ समन्वय प्रणाली, अर्थात् ए त्यहाँ सन्दर्भ एक बिन्दु थियो छ।।

अर्को चरण विज्ञान अझै पनि खडा गर्दैन देखि, अधिक र थप नयाँ आविष्कारहरू नयाँ धक्का विकास को लागि एक सैद्धान्तिक आधार माग, आंशिक संख्या प्रविष्ट गर्न आवश्यकता थियो। त्यसैले त्यहाँ एक क्षेत्र थियो तर्कसंगत संख्या को Q.

अन्तमा, अब सबै नयाँ निष्कर्ष औचित्य आवश्यकता किनभने, rationality को माग पूरा। त्यहाँ वास्तविक संख्या आर को एक क्षेत्र, किनभने आफ्नो irrationality केही मात्रा को युक्लिड गरेको incommensurability कामहरू थिए। कि, छ पुरातन युनानी गणितज्ञ स्थिर रूपमा मात्र होइन नम्बर अवस्थित, तर incommensurable परिमाणको अनुपात विशेषता छ जो एक अमूर्त मान। कारण त्यहाँ वास्तविक संख्या हो भन्ने तथ्यलाई गर्न, यस्तो जो बिना आधुनिक गणित ठाउँ लिएका छन् सकेन "पाइ" र "ई", रूपमा मान "हामी ज्योति देखे"।

अन्तिम नवीनता थियो एक जटिल नम्बर सी यो प्रश्न को एक श्रृंखला जवाफ र पहिले प्रविष्ट postulates refuted। कारण बीजगणित नतिजा को तीव्र विकास गर्न आषा थियो - वास्तविक संख्या संग, धेरै समस्या को निर्णय सम्भव छैन थियो। उदाहरणका लागि, जटिल संख्या धन्यवाद स्ट्रिङ सिद्धान्त र hydrodynamics को अराजकता विस्तार समीकरण बाहिर उभिए।

सिद्धान्त सेट गर्नुहोस्। cantor

अनन्त को अवधारणा सधैं प्रमाणित वा खण्डन गर्नु असम्भव थियो, विवाद भएको छ। कडाई प्रमाणित postulates संचालित छ जो गणित को सन्दर्भलाई, यो नै सबै भन्दा स्पष्ट, को Theological पक्ष अझै पनि मा विज्ञान वजन अधिक कि प्रकट गर्नुभयो।

तथापि, गणितज्ञ Georg Cantor काम मार्फत सबै समय स्थान फसे। उहाँले त्यहाँ असीमित सेट हो, र क्षेत्र आर क्षेत्र एन भन्दा ठूलो छ, ती दुवै गरौं र कुनै अन्त गर्ने अनन्त सेट प्रमाणित गर्नुभयो। को XIX सताब्दी को बीचमा, आफ्नो विचार सार्वजनिक रूपमा अर्थहीन र शास्त्रीय immutable canons विरुद्ध अपराध भनिन्छ, तर समय यसको ठाउँमा सबै गर्नेछन्।

क्षेत्र आर को मूल गुण

वास्तविक संख्या मात्र तिनीहरूले समावेश कि podmozhestva जस्तै गुण, तर यसको तत्व को सद्गुण गरेर अन्य masshabnosti द्वारा पूरक छन्:

• शून्य आर अवस्थित र आर को कुनै पनि ग लागि क्षेत्र सी + = ग 0 पर्छ
• शून्य अवस्थित र आर को कुनै पनि ग लागि क्षेत्र आर सी एक्स = 0 0 पर्छ
• अनुपात ग: D D ≠ 0 अवस्थित र कुनै पनि ग लागि मान्य छ जब, आर को D
• क्षेत्र आर आदेश, अर्थात् यदि ग ≤ घ, घ ≤ ग, त्यसपछि ग = कुनै पनि ग लागि डी, आर को D
• क्षेत्र आर मा साथै विनिमेय छ, अर्थात् सी + D = D + C, कुनै पनि ग लागि, आर को D
• क्षेत्र आर मा गुणन अर्थात् एक्स ग एक्स डी = D सबै ग लागि, ग आर को घ, विनिमेय छ
• क्षेत्र आर मा वाहेक, अर्थात् associative (सी + घ) + F = सी + (घ + च) कुनै पनि ग लागि, घ छ आर को च
• क्षेत्र आर मा गुणन associative छ अर्थात् (ग एक्स घ) एक्स च = ग एक्स (घ एक्स च) कुनै पनि ग, घ लागि, आर को च
• यस्तो छ कि प्रत्येक क्षेत्र आर विपरीत को यो त्यहाँ नम्बर, को लागि सी + (-C) = 0, जहाँ सी, आर देखि -C
• लागि क्षेत्र आर प्रत्येक संख्या व्युत्क्रम अवस्थित यस्तो छ कि ग एक्स ग ^-1 = 1 जहाँ सी, सी ^-1 आर को
• एकाइ अवस्थित र आर पर्छ, ताकि आर को कुनै पनि ग लागि ग 1 एक्स = सी,
• यो कि ग एक्स त (घ + F), शक्ति व्यवस्था वितरण छ, ग = एक्स डी + C एक्स च कुनै पनि ग लागि, घ, आर को च
• यस आर क्षेत्र शून्य एकतामा बराबर छ।
• क्षेत्र आर transitive छ: यदि ग ≤ घ, घ ≤ च, त्यसपछि ग ≤ च कुनै पनि ग, घ लागि, च आर को
• को अनुसन्धान र साथै क्रममा परस्पर छन्: यदि ग ≤ घ, त्यसपछि सी + च ≤ सबै सी, डी लागि D + F, आर को च
• लिङ्क आर र गुणन को क्रम मा: यदि 0 ≤ ग, 0 ≤ घ, त्यसपछि 0 ≤ ग एक्स डी कुनै पनि ग लागि, आर को D
• नकारात्मक र सकारात्मक वास्तविक संख्या लगातार हुन्, अर्थात्, कुनै पनि ग लागि, आर च को घ, त्यहाँ आर, कि ग ≤ च ≤ d बाट अवस्थित छ।

मोड्युल क्षेत्र आर

वास्तविक संख्या एक मोड्युल रूपमा यस्तो कुरा समावेश गर्नुहोस्। को रूपमा डिजाइन | f | आर मा कुनै पनि च लागि | f | = फा, यदि 0 ≤ च र | च | = F, यदि 0> च। हामी एक ज्यामितीय मूल्य रूपमा मोड्युल विचार भने, यो एक दूरी छ - यो कुरा छैन, तपाईं शून्य रूपमा नकारात्मक मा सकारात्मक वा अगाडि गर्न "पारित"।

जटिल र वास्तविक संख्या। को समानता र मतभेद के हुन्?

ठूलो जटिल र वास्तविक संख्या द्वारा र - तिनीहरूले एक हो र एउटै, पहिलो काल्पनिक एकाइ सामेल कि म बाहेक वर्ग जो -1 बराबर छ। तत्व आर क्षेत्रहरू र सी निम्न सूत्र प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ:

• ग = D + F एक्स म, wherein घ, च क्षेत्र आर हौं, र म - काल्पनिक एकाइ।

यस मामला बस अर्थात् शून्य हुन कल्पित, मा आर च को ग प्राप्त गर्न, त्यहाँ संख्या मात्र वास्तविक भाग हो। जटिल संख्या को क्षेत्र नै सुविधा वास्तविक क्षेत्रमा रूपमा सेट, एक्स = 0 यदि f = 0 च छ किनभने।

सादर व्यावहारिक मतभेद संग, उदाहरण क्षेत्र आर मा लागि द्विघात समीकरण गर्दा सी बक्स मा काल्पनिक एकाइ म शुरू गरेर यो सीमा आयातित गर्दैन discriminant, नकारात्मक छ भने हल गर्न सकिन्छ।

परिणाम

axioms को "ईटाहरु" र आधार गणित गर्न, परिवर्तन छैन जो मा postulates। कारण जानकारी वृद्धि र नयाँ सिद्धान्त को परिचय तिनीहरूलाई केही निम्न जो भविष्यमा अर्को चरणको लागि आधार बन्न सक्छ "इँटा", राख्नुभयो। उदाहरणका लागि, प्राकृतिक संख्या, तिनीहरूले वास्तविक क्षेत्र आर को एक सबसेट हो भन्ने तथ्यलाई बावजुद, यसको सान्दर्भिकता गुमाउनु छैन। यो शान्ति मानिसको ज्ञान सुरु जो सबै प्राथमिक गणित, को आधार तिनीहरूलाई छ।

दृश्य एक व्यावहारिक बिन्दुबाट, वास्तविक संख्या एक सीधा लाइन जस्तो। यो मूल र पिच पहिचान गर्न, एक निर्देशन चयन गर्न सम्भव छ। प्रत्यक्ष वा छैन तर्कसंगत बिना एक वास्तविक संख्या पारस्परिक प्रत्येक जो असीमित अंक, नम्बर हुन्छन्। विवरण देखि यो हामी सामान्य मा गणित आधारित छ जो अवधारणा, र बारेमा कुरा गर्दै छन् भनेर स्पष्ट छ गणितीय विश्लेषण विशेष।