रसेल गरेको विरोधाभास: आधारभूत जानकारी, उदाहरणहरू निरूपण

रसेल विरोधाभास दुई interdependent तार्किक antinomy छ।

रसेल गरेको विरोधाभास दुई प्रकारका

तर्क सेट मा एक अन्तर्विरोध को सबैभन्दा धेरै छलफल फारम। सेट केही सदस्यहरू आफूलाई र अरूलाई जस्तो देखिन्छ - छैन। सबै सेट को सेट नै एक सेट हो, त्यसैले यो नै बुझाउँछ जस्तो देखिन्छ। शून्य वा खाली तथापि, नै एक सदस्य हुनु हुँदैन। त्यसैले, सबै सेट को सेट, शून्य रूपमा नै मा समावेश छैन। यो विरोधाभास खडा गर्दा नै एक सदस्य को सेट कि को प्रश्न। र यो छैन भने मात्र भने यो सम्भव छ।

अर्को फारम विरोधाभास गुण सन्दर्भमा अन्तर्विरोध छ। केही गुणहरू, अरूलाई छैनन् गर्दा, आफूलाई उल्लेख देखिन्छ। जबकि सम्पत्ति एक बिरालो छैन यो हुन नै विशेषता छ सम्पत्ति हुन सम्पत्ति। उसलाई होइन कि एक सम्पत्ति भएको सम्पत्ति विचार गर्नुहोस्। यो नै लागू भने? फेरि, यो अनुमानको कुनै पनि विपरीत हुनुपर्छ। यो विरोधाभास 1901 मा पत्ता जो Bertrand रसेल (1872-1970), को सम्मान मा नाम थियो।

कथा

खोल्दै रसेल "गणित को सिद्धान्तहरूले" आफ्नो काम समयमा भयो। उहाँले स्वतन्त्र भएको विरोधाभास पत्ता हुनत, त्यहाँ अन्य गणितज्ञ र सेट सिद्धान्त, को विकासकर्ताहरूले अर्नस्ट Zermelo र सहित प्रमाण हो दाऊदले हिल्बर्ट, उहाँलाई अघि विरोधाभास को पहिलो संस्करण थाह थियो। रसेल तथापि, आफ्नो प्रकाशित कार्यहरूमा विस्तृत छलफल गर्ने विरोधाभास पहिलो, पहिलो समाधान तैयार गर्न प्रयास र पूर्णतया यसको महत्त्व बुझ्न पहिलो थियो। यो मुद्दा को चर्चा गर्न "सिद्धान्तहरूले" को एक सम्पूर्ण अध्याय समर्पित थियो, र रसेल समाधान रूपमा प्रस्तावित जो प्रकार को सिद्धान्त, गर्न आवेदन समर्पित थियो।

रसेल Cantor सेट सिद्धान्त कुनै पनि सेट शक्ति यसको subsets को सेट भन्दा सानो छ भनेर भन्छन् कि विचार, को झूटो को "विरोधाभास 'खोज। डोमेन कम्तीमा प्रत्येक तत्व को एक सबसेट मात्र यो तत्व युक्त सेट गरिएको छ भने, त्यहाँ मा तत्व हो सकेसम्म धेरै subsets हुनुपर्छ। यसबाहेक, Cantor कि तत्व को संख्या subsets संख्या बराबर हुन सक्दैन साबित भयो। यदि एउटै नम्बर थिए, यो आफ्नो subsets मा तत्व प्रदर्शन भनेर ƒ सुविधा अवस्थित छ भनेर। एकै समयमा यो असम्भव छ भनेर साबित गर्न सकिन्छ। केही वस्तुहरू, समारोह ƒ subsets तिनीहरूलाई समावेश गर्ने प्रदर्शित हुन सक्छ अरूलाई नहुन सक्छन्।

मा उनि ƒ प्रदर्शन आफ्नो छवि, होइन भन्ने तत्व को सबसेट विचार गर्नुहोस्। यो तत्व को एक सबसेट नै छ, र यसैले, ƒ समारोह यो डोमेनमा एक तत्व मा प्रदर्शन हुनेछ। समस्या त प्रश्न यो तत्व यो ƒ प्रदर्शन गर्न सबसेट पर्छ कि रूपमा खडा छ। यदि यो होइन यो केवल सम्भव छ। रसेल गरेको विरोधाभास तर्क को समान लाइन उदाहरणको रूपमा देख्न सकिन्छ, केवल सरलीकृत। को सेट वा सेट को subsets - के थप छ? यो सेट आफूलाई सबै subsets बढी सेट हुनुपर्छ कि, जस्तो थियो। तर Cantor गरेको प्रमेय साँचो हो भने, त्यसपछि त्यहाँ थप subsets हुनुपर्छ। रसेल बस मानिन्छ आफूलाई मा सेट प्रदर्शन र यी सबै तत्व, तिनीहरूले प्रदर्शित छन् जो एक सेट को बाहिर को सेट विचार kantoriansky दृष्टिकोण लागू गरियो। देखाउन रसेल सबै सेट, एक गैर को सेट हुन्छ।

त्रुटि Frege

"को झूटो को विरोधाभास" सेट को सिद्धान्त को ऐतिहासिक विकास मा एक गहिरो प्रभाव थियो। विश्वव्यापी सेट को अवधारणा अत्यधिक समस्याग्रस्त छ कि उहाँले देखाउनुभयो। उहाँले पनि प्रत्येक परिभाषित अवस्था वा predicate लागि यो अवस्था पूरा मात्र ती कुराहरू एक अधिकता को अस्तित्व मान गर्न सक्नुहुन्छ धारणा प्रश्न। विकल्प विरोधाभास गुण विषयमा - संस्करण सेट गर्न एक प्राकृतिक विस्तार - यो विशेषता को उद्देश्य अस्तित्व वा अवस्था, वा predicate द्वारा निर्धारित प्रत्येक एक सार्वभौमिक एकरूप बारेमा तर्क गर्न सम्भव छ कि छैन भनेर रूपमा गम्भीर शङ्का उठायो।

चाँडै logicians काम मा विरोधाभास र समस्या फेला परेन, दार्शनिकहरू र गणितज्ञ समान अनुमानको गरेका छन् जसले। प्रारम्भिक XX सताब्दी - 1902 मा, रसेल को विरोधाभास को एक भेद, एक तार्किक प्रणालीमा व्यक्त गर्न Gottlob Frege गरेको "गणित को मूलाधार" को मात्रा म, देर XIX को तर्क मा मुख्य काम मध्ये विकास गर्न सक्ने फेला परेन। Frege को दर्शन मा धेरै एक "विस्तार" वा "मूल्य-सीमा" को अवधारणा रूपमा बुझे। को अवधारणाहरु संबद्ध ती गर्न घनिष्ठ छन्। तिनीहरूले कुनै पनि दिइएको अवस्था वा predicate लागि अवस्थित गर्न आशा गरिन्छ। त्यसैले, यसको परिभाषित अवधारणा अन्तर्गत पर्न गर्दैन एक सेट, एक अवधारणा छ। यो अवधारणा द्वारा परिभाषित एक वर्ग पनि छ, र यो छैन भने मात्र यसको अवधारणा परिभाषित विषय हो।

रसेल जुन 1902 मा यो संघर्ष बारे Frege यस्तो लेखे पत्राचार सबैभन्दा रोचक एक भएको छ र तर्क को इतिहास मा बारेमा कुरा। Frege तुरुन्तै विरोधाभास को विनाशकारी नतिजा बुझे। उहाँले आफ्नो दर्शन मा गुण सन्दर्भमा विवाद को संस्करण स्तर को अवधारणाहरु बीच विशिष्ठ द्वारा समाधान थियो, तर, उल्लेख गरे।

Frege गरेको धारणा साँचो गर्न समारोह को तर्क देखि संक्रमण रूपमा बुझे। को अवधारणाहरु पहिलो स्तर दोस्रो स्तर अवधारणाहरु को वस्तुहरु यी कार्यहरु तर्कको, र यति मा रूपमा लिन तर्क रूपमा लिइरहेको। तसर्थ, अवधारणा नै एक तर्कको रूपमा कहिल्यै लाग्न सक्छ, र गुण को मामला मा विरोधाभास छैन formulated गर्न सकिन्छ। तैपनि सेट, विस्तार वा अवधारणाहरु Frege अन्य सबै वस्तुहरू को कि जस्तै तार्किक प्रकार बताइरहेका रूपमा बुझे। त्यसपछि हरेक सेट लागि त्यहाँ यो परिभाषित को अवधारणा अन्तर्गत पतन कि एउटा प्रश्न छ।

Frege, रसेल पहिलो अक्षर, "गणित को मूलाधार" को दोस्रो मात्रा प्राप्त गर्दा पहिले नै छाप्न समाप्त भयो। उहाँले चाँडै रसेल को विरोधाभास जवाफ दिन्छ कि एक आवेदन तयार बाध्य भएको थियो। उदाहरण Frege सम्भव समाधान को एक नम्बर समावेश गर्यो। तर उहाँले एक तार्किक प्रणालीमा abstraction सेट को अवधारणा कमजोर बनाउने निष्कर्ष आए।

मूल मा, यो वस्तु सेट पर्छ कि यदि र केवल यो अवधारणा भित्र पतन भने, यो परिभाषित निष्कर्षमा पुग्न गर्न सम्भव थियो। संशोधित सिस्टम मात्र वस्तु सेट पर्छ कि यो एक अधिकता परिभाषित को धारणा भित्र पतन, तर प्रश्न सेट भने र केवल यदि निष्कर्षमा पुग्न सक्छौं। रसेल गरेको विरोधाभास उत्पन्न हुन्छ।

समाधान, तथापि, सम्पूर्ण Frege सन्तुष्ट छ। र यो कारण थियो। धेरै वर्ष पछि, विरोधाभास बढी जटिल फारम संशोधित सिस्टम लागि पाइएको छ। तर यो भयो पनि अघि, Frege आफ्नो निर्णय त्यागेर आफ्नो दृष्टिकोण बस unworkable थियो कि निष्कर्षमा आउन जस्तो, र त्यो तर्क पनि सेट को कुनै पनि बिना गर्न हुनेछ।

अझै पनि अरूलाई प्रस्तावित गरिएको छ, अपेक्षाकृत बढी सफल वैकल्पिक समाधान। यी तल छलफल गरिन्छ।

प्रकार को सिद्धान्त

यसलाई उल्लेख थियो Frege को paradoxes गर्न पर्याप्त प्रतिक्रिया थियो माथि सेट सिद्धान्त को गुण लागि formulated संस्करण मा। Frege प्रतिक्रिया विरोधाभास को यो फारममा सबैभन्दा धेरै छलफल समाधान द्वारा preceded थियो। यो गुण विभिन्न प्रकारका विषय हो र सम्पत्ति को के प्रकार यसलाई बुझाउँछ जो वस्तुहरू जस्तै कहिल्यै छ भन्ने तथ्यलाई आधारित छ।

यसरी, छैन पनि प्रश्न खडा, सम्पत्ति नै लागू छ कि छैन भनेर। प्रकार को सिद्धान्त प्रयोग गरेर यस्तो वर्गीकरणका को तत्व अलग जो तार्किक भाषा,। यसलाई पहिले नै Frege, पहिलो पटक प्रयोग गरिएको छ हुनत यो पूर्णतया व्याख्या छ र "सिद्धान्त" गर्न Annex मा रसेल substantiated। प्रकार को सिद्धान्त Frege स्तर को गौरव भन्दा बढी पूर्ण थियो। त्यो गुण तर्क विभिन्न प्रकार, तर पनि सेट मात्र छैनन् साझेदारी। रसेल निम्नानुसार को विरोधाभास मा विरोधाभास समाधान गर्न सिद्धान्त टाइप गर्नुहोस्।

अर्डर एक philosophically पर्याप्त हुन मा, गुण को प्रकार को सिद्धान्त को ग्रहण तिनीहरू लागू गर्न सकिँदैन किन व्याख्या सक्ने त गुण को प्रकृति को सिद्धान्त विकास आवश्यक छ। पहिलो नजर मा, यो आफ्नै सम्पत्ति predicate गर्न अर्थमा बनाउँछ। आत्म-पहिचान हुनुको सम्पत्ति, यो पनि एक आत्म-पहिचान छ, जस्तो थियो। सम्पत्ति एक राम्रो रमाइलो जस्तो देखिन्छ। एउटै तरिकामा, जाहिर छ, यो गलत एक बिरालो हुनुको सम्पत्ति एक बिरालो छ भनेर भन्न देखिन्छ।

यद्यपि, विभिन्न thinkers विभिन्न प्रकारका को विभाजन जायज। रसेल पनि फरक व्याख्या आफ्नो क्यारियर मा विभिन्न समयमा दिनुभयो। यसको भाग को लागि, Frege स्तर को विभिन्न अवधारणाहरु को जुदाई लागि तर्क असंतृप्त अवधारणाहरु को आफ्नो सिद्धान्त आउँछ। समारोह रूपमा अवधारणाहरु, सार मा, अपूर्ण छन्। मूल्य प्रदान गर्न, तिनीहरूले एउटा तर्क गर्न आवश्यक छ। किनभने यो अझै पनि यसको तर्क आवश्यक तपाईं नै प्रकार को अवधारणा predicate केवल एक अवधारणा गर्न सक्छन्। उदाहरणका लागि, यो एक नम्बरको वर्ग मूल को वर्ग मूल लिन सम्भव छ हुनत, तपाईं बस एक वर्ग मूल समारोह वर्ग मूल समारोह प्रयोग र परिणाम प्राप्त गर्न सक्दैन।

conservatism गुण बारे

अर्को सम्भाव्य समाधान कुनै पनि अवस्था वा राम्ररी गठन predicate अन्तर्गत विरोधाभास गुण negation गुण अस्तित्व छ। निस्सन्देह, कसैलाई सारा दुवै उद्देश्य र स्वतन्त्र तत्व को तत्वज्ञान गुण eschews भने, हामी nominalism विरोधाभास लिन भने पूर्ण बचा गर्न सकिन्छ।

तर, antinomy समाधान गर्न यति चरम हुन पर्दैन। तर्क उच्च क्रम प्रणाली जो अनुसार विकास Frege र रसेल, एक वैचारिक सिद्धान्त भनिन्छ के समावेश, विशेषता वा उदाहरणका लागि अवधारणा मात्र ती वस्तुहरू सूत्र मेल खाने को भाग रूपमा अवस्थित कसरी जटिल प्रत्येक खुला सूत्रहरू बिना। तिनीहरूले कुनै कुरा तिनीहरूले थिए कसरी जटिल अवस्था वा predicates, हरेक सम्भव सेट विशेषताहरु लागू।

यद्यपि, यो सही सरल गुण को उद्देश्य अस्तित्व गर्न, उदाहरणका लागि, यस्तो रातो रंग, दृढता, दया र यति मा रूपमा दिने सहित एक थप कठोर तत्वज्ञान गुण लिन सम्भव थियो। डी तपाईं पनि यी गुणहरू जस्तै दया रूपमा, आफूलाई लागू गरौं सक्छन् दयालु।

र जटिल विशेषताहरु त्यहि स्थिति अस्वीकार गर्न सकिँदैन, उदाहरणका लागि, यस्तो सत्र-टाउको भएको "गुण" अन्तर्गत-पानी गर्न-लिखित र जस्तै। डी यस अवस्थामा, कुनै predetermined अवस्था सम्पत्ति पूरा गर्दैन, रूप अलग बुझे अवस्थित यसको आफ्नै गुण छ जो तत्व। यसरी एक सरल गुण को अस्तित्व अस्वीकार गर्न सक्छन्-सम्पत्ति-कि-गैर-लागू-को आत्म र अधिक रूढिवादी तत्वज्ञान गुण लागू गरेर विरोधाभास जोगिन।

रसेल गरेको विरोधाभास: समाधान

माथि यो आफ्नो जीवनको अन्तमा Frege पूर्ण सेट तर्क त्यागेर कि प्रख्यात थियो। यो, को पाठ्यक्रम, एक antinomy गर्न सेट को रूप मा समाधान: एक सम्पूर्ण जस्ता तत्व को अस्तित्व को एक सरल इन्कार। साथै, त्यहाँ मूल कुराहरू जो तल देखाइएको छ अन्य लोकप्रिय विकल्प हो।

को धेरै प्रकार को लागि सिद्धान्त

माथि उल्लेख गरिएझैं रसेल विभिन्न प्रकारका गर्न गुण वा अवधारणाहरु मात्र होइन साझा गर्ने प्रकार, बढि पूर्ण सिद्धान्त लागि खेले, तर पनि सेट। रसेल अलग एकाइहरूको एक अधिकता सेट साझेदारी, अलग वस्तुहरु, आदि को सेट को एक अधिकता वस्तुहरु को सेट छलफल र सेट को एक अधिकता थियो - .. सेट गर्छ। कहिल्यै एक धेरै, प्रकार आनन्द तपाईं नै एक सदस्यको रूपमा दिन्छ। त्यसैले त्यहाँ किनभने यो एक सदस्यको रूपमा छ कि छैन भनेर नै उल्लङ्घनको प्रकार छ बारे कुनै पनि प्रश्न को सेट को लागि, हो कि यसको आफ्नै सदस्यहरू सबै सेट को कुनै सेट छ। फेरि, यहाँ मुद्दा प्रकार मा विभाजन को दार्शनिक नींव व्याख्या गर्न तत्वज्ञान सेट व्याख्या छ।

स्तरीकरण

1937 मा, वी वी Kuayn प्रकार को सिद्धान्त समान तरिकाले, एक वैकल्पिक समाधान प्रस्ताव गरेको छ। यसको बारेमा आधारभूत जानकारी छन्।

तत्व सेट र अरूलाई। एक अधिकता फेला को धारणा सधैं गलत वा अर्थहीन छ भनेर बनाएको छुट्टाएर। सेट आफ्नो अवस्था परिभाषित गर्दा मात्र प्रदान गर्न सकिन्छ उल्लङ्घनको प्रकार छैनन्। यसरी, Quine लागि, अभिव्यक्ति "X छैन एक्स सदस्य" यो अवस्था सन्तुष्ट सबै तत्व एक्स सेट अस्तित्व होइन अर्थपूर्ण कथन छ।

यदि र यो stratified छ भने मात्र, टी। ई को चर जस्तै यो चर अघिल्लो एक अधिकता प्रत्येक विशेषता घटना लागि चर भन्दा सानो काम तोकिएको छ कार्यभार एकाइ कि सकारात्मक पूर्णाङ्कहरुको तोकिएको छ भने केही खुला सूत्र एक लागि यो प्रणालीमा एक सेट अवस्थित, उसलाई पछि निम्न। यो ब्लक रसेल गरेको विरोधाभास, समस्या सेट निर्धारण गर्न प्रयोग देखि सूत्र, त्यहाँ नै अघि र चल सदस्यता साइन यो unstratified बनाउन पछि हो।

तर यो परिणामस्वरूप प्रणाली, Quine "गणितीय तर्क को नयाँ मूलाधार" लगातार भनिन्छ जो कि निर्धारण गर्न अझै छ।

तिरस्कार

Fraenkel (ZF) - एक सम्पूर्ण फरक दृष्टिकोण Zermelo को सिद्धान्त मा लिइएको छ। यहाँ पनि, सेट को अस्तित्व मा सीमा सेट। बरु, सबै अवधारणाहरु, गुण, वा अवस्था लागि यो सम्पत्ति सबै कुरा को सेट को अस्तित्व सुझाव वा ZF-सिद्धान्त मा, यस्तो अवस्था पूरा गर्न सक्छ कि सुरुमा लाग्यो जो रसेल र Frege, को "शीर्ष-तल" भेट्नुपर्छ, सबै कुरा सुरु हुन्छ "तल देखि।"

खाली सेट र व्यक्तिगत तत्व एक सेट फारम। तसर्थ, पहिले प्रणाली र रसेल Frege फिट विपरीत सबै तत्व र पनि सबै सेट समावेश जो विश्वव्यापी सेट होइन। ZF सेट को अस्तित्व मा सख्त सीमा सेट गर्छ। जसको लागि ती यसलाई स्पष्ट postulated छ वा जो iterative प्रक्रियाहरू र जस्तै को माध्यम द्वारा formulated हुन सक्छ मात्र अवस्थित सक्छ। डी

त्यसपछि, बरु अवधारणा abstraction अनुभवहीन सेटको जो भन्छ यो प्रयोग DF, अलग वा "क्रमबद्ध" जुदाई सिद्धान्त मा अवस्थाको पूरा यदि र केवल यदि एक विशेष तत्व सेट मा समावेश गरिएको छ कि। प्रत्येक अवस्थित सेट लागि, जो बिना अपवाद हो सबै तत्व को सेट को अस्तित्व मानेर एक निश्चित अवस्था पूरा सट्टा Aussonderung अवस्था संतुष्ट जो मूल सेटमा सबै तत्व को एक सबसेट को अस्तित्व संकेत गर्छ।

त्यसपछि abstraction सिद्धान्त आउँछ: सेट एक एक सबै x को लागि, त्यसपछि अवस्थित भने, एक्स को सबसेट ए, अवस्था संतुष्ट जो र एक्स संतुष्ट अवस्था सी यो दृष्टिकोण हल गर्ने विरोधाभास रसेल, हामी बस मान भने मात्र भने देखि सक्दैन पर्छ कि, हो कि आफूलाई सदस्यहरू सबै सेट को सेट छ।

सेट को धेरै भइरहेको, तपाईं चयन गर्न सक्नुहुन्छ वा सेट, जो आफूलाई मा छन्, र छन् यस्तो गर्नेहरूलाई यसलाई विभाजित, तर हामी सबै सेट को सेट बाँधिएका छन् कुनै सार्वभौमिक सेट छ देखि छैन। समस्या मानेर बिना सेट रसेल विरोधाभास सिद्ध गर्न सकिँदैन।

अन्य समाधान

साथै, त्यहाँ यस्तो "गणित को सिद्धान्तहरूले" सिस्टम विस्तार "गणितीय तर्क" Quine, साथै सेट को सिद्धान्त मा थप हाल विकासक्रम एक काँटा-प्रकार सिद्धान्त रूपमा पछि विस्तार वा यी समाधान को संशोधनहरू गरिएको छ, Bernays, Gödel र वन NEUMANN गरे। कि अघुलनशील विरोधाभास Bertrand रसेल प्रतिक्रिया फेला को प्रश्न, अझै पनि बहस को कुरा हो।